LA RADICACIÓN
LA RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa de la
potenciación, con la cual se busca la base conociendo el exponente y la
potencia.
TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN
Raíz cuadrada exacta
La
raíz cuadrada exacta de un número es otro número que multiplicado por sí mismo
sea igual al primer número. Se expresa así:
√a = b ↔ b. b = b2 = a
Hallar
la raíz de un número a significa encontrar un número b que,
multiplicado por sí mismo, sea igual a a.
Ejemplos:
El
número 36 tiene dos
raíces cuadradas, ya que hay dos números, 6 y - 6, que cumplen que 62 = (- 6)2 = 36.
A continuación observarás las primeras 10 raíces cuadradas exactas:
Raíz
cuadrada entera
Cuando
el número no es un cuadrado perfecto, se obtiene la raíz cuadrada entera. Esta
raíz estará comprendida entre dos cuadrados perfectos consecutivos.
Ejemplos:
La
raíz √14 estará
comprendida entre 32 = 9
y 42 = 16.
√14 = 3
y el resto es 14 – 9= 5
La
raíz √33 estará
comprendida entre 52
= 25 y 62
= 36
√33 = 5
y el resto es 33 – 25= 8
Cálculo
de raíces por descomposición de un número en factores primos
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| ¡A observar y aprender se dijo! |
Antes de dar inicio al cálculo de raíces por descomposición de un número en factores primos es importante que repases y conozcas muy bien qué son los números primos, cómo descomponer un número en factores primos y cúales son los criterios de divisibilidad. Para ello, te recomiendo que observes con detenimiento y con mucha atención los siguientes videos:
vídeo # 1: ¿Qué son los números primos y compuestos?
video # 2: Números primos del 1 al 100. Cómo identificarlos fácilmente.
Video # 3 : Cómo descomponer un número en factores primos
video # 4: Criterios de divisibilidad
¡AHORA SÍ, !
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
Pasos:
- Se descompone el radicando en sus factores primos.
- Se expresa el radicando en una multiplicación de potencias.
- Se separan las potencias en radicaciones por separado.
- Se operan las raíces por separado.
- Se multiplican los factores que quedan.
Hallar la raíz cuadrada por descomposición en factores primos de 900.
1. Se
descompone 900 en factores primos
900
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2
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450
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2
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225
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3
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75
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3
|
25
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5
|
5
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5
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1
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2.
Se expresa 900 en una multiplicación de potencias
√900 = √22×32×52
3.
Se separan las potencias en radicaciones por separado.
√900= √22 × √32 × √52
4.
Se operan las raíces por separado.
√900 = 2×3×5
5.
Se multiplican los factores que quedan y obtenemos
√900 = 30
Cuando la raíz no es exacta entonces se suele dejar indicado el factor que
tiene una radicación.
Hallar la raíz cuarta por descomposición en factores primos
de 648.
1. Se descompone 648 en factores
primos
648
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2
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324
|
2
|
162
|
2
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81
|
3
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27
|
3
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9
|
3
|
3
|
3
|
1
|
2. Se
expresa 648 en una multiplicación de potencias
4 √648= 4√23×34
3. Se
separan las potencias en radicaciones por separado.
4√648 = 4√23 × 4√34
4. Se operan las raíces por
separado.
4√648 = 4√23 × 3
5. Se multiplican los factores
que quedan y obtenemos
4√648 = 3 × 4√8
6. Debido a que la raíz cuarta de
8 es una raíz con residuo, entonces este sólo quedara indicada. Esto también se
puede expresar sin el símbolo de multiplicación:
4√648 = 3 4√8
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| ¡A observar y aprender se dijo! |
Si aún no te ha quedado claro el tema, observa con mucha atención y concentración el siguiente video explicativo de cómo obtener la raíz n- ésima de un número a través del proceso de simplificación con factores primos.
video # 1
video # 2
video # 3
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| ACTIVIDAD |
Afianza el proceso de la radicación resolviendo los siguientes ejercicios propuestos. En caso que se te haya olvidado algo, revisa de nuevo la teoría y los videos explicativos adjuntos.
¡ Mucho ánimo y no se te olvide que el objetivo es aprender, pero aprender muy bien!
Resolver las siguientes raíces por descomposición en factores primos.
*√ 56= * 3√24= * 3√48= * 4√405= * 5 √96=
* 4√625= * 4√128= * 5√1024= * 3√512= * 3√1.296=
* 3√264= *√1.224= * 4√2041= * √196= * 3√1000=
* 5 √243 = * 4√2000= * 6√729= * √400= * 3√2.000=
Propiedades de la radicación
1. Raíz de un producto: Se separan las dos raíces de los dos factores y se multiplican.
n√ a x b =
√ 4 x 25 = √ 4 x √ 25 = 2 x 5 = 10
2. Raíz de un cociente: Se separan las raíces del cociente.
n√ a/b =
3 √ 8/64 = 3 √8 / 3 √64 = 2 / 4 3. Raíz de una ráiz: Se multiplican los dos índices y se escribe la misma cantidad subradical.
4. Raíz de una potencia: Se escribe la misma cantidad subradical y se eleva a la potencia expresada por el exponente de la cantidad subradical sobre el índice del radical.
5. Ley de cancelación de radical: Si una raíz n-ésima es elevada a la potencia n-ésima, se cancela la raíz con la potencia, quedando como resultado la cantidad subradical.
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| ¡A observar y aprender se dijo! |
Si aún no te ha quedado claro el tema, observa con mucha atención y concentración los siguientes videos explicativos acerca de la propiedades de la radicación.
Aplica lo que has aprendido acerca de las propiedades de la radicación. En caso de tener alguna duda, revisa de nuevo los ejemplos que se te ha presentado y el video final.
TALLER DE RADICACIÓN
1. Utiliza las propiedades de la radicación en
los siguientes ejercicios:
1 2. Utiliza
el método de descomposición para extraer si es posible las raíces n- ésimas de
los siguientes valores:
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